Algèbre Exemples

$\log_{6} (\sqrt[3]{\frac{1}{6}})$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{6}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$\log_{6} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{6}})$

Étape 2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\log_{6} (\frac{1}{\sqrt[3]{6}})$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\log_{6} (\frac{1}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt[3]{6}$ à la puissance $1$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}})$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}})$

Étape 4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ comme $6$ .

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Étape 4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6}$ comme $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Étape 4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Étape 4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}})$

Étape 4.5.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6})$

Étape 5

Réécrivez $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$ comme ${\sqrt[3]{6}}^{2} \cdot 6^{- 1}$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2} \cdot 6^{- 1})$

Étape 6

Réécrivez $\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2} \cdot 6^{- 1})$ comme $\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) + \log_{6} (6^{- 1})$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) + \log_{6} (6^{- 1})$

Étape 7

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) - \log_{6} (6)$

Étape 8

La base logarithmique $6$ de $6$ est $1$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) - 1 \cdot 1$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2}) - 1$

Étape 10

Développez $\log_{6} ({\sqrt[3]{6}}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 \log_{6} (\sqrt[3]{6}) - 1$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Réécrivez $\log_{6} (\sqrt[3]{6})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 11.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$2 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Étape 11.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$2 \frac{\log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)} - 1$

Étape 11.2

Multipliez $2 \frac{\log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)}$ .

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Étape 11.2.1

Associez $2$ et $\frac{\log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)}$ .

$\frac{2 \log (\sqrt[3]{6})}{\log (6)} - 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez $2 \log (\sqrt[3]{6})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\log ({\sqrt[3]{6}}^{2})}{\log (6)} - 1$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{6^{2}})}{\log (6)} - 1$

Étape 11.3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{36})}{\log (6)} - 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (\sqrt[3]{36})}{\log (6)} - 1$

Forme décimale :

$- 0.\overline{3}$