Algèbre Exemples

$\frac{x + 8}{x^{2} + 11 x + 24} \cdot \frac{x - 5}{6 x^{2} + 12 x} \div \frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} + 4 x + 3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x + 8}{x^{2} + 11 x + 24} \cdot \frac{x - 5}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 11 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $11$ .

$3, 8$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 8}{(x + 3) (x + 8)} \cdot \frac{x - 5}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{x + 8}{(x + 3) (x + 8)} \cdot \frac{x - 5}{6 x (x) + 12 x} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 3.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x$ .

$\frac{x + 8}{(x + 3) (x + 8)} \cdot \frac{x - 5}{6 x (x) + 6 x (2)} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 3.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$\frac{x + 8}{(x + 3) (x + 8)} \cdot \frac{x - 5}{6 x (x + 2)} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 8}{(x + 3) (x + 8)} \cdot \frac{x - 5}{6 x (x + 2)} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 5}{6 x (x + 2)} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{x + 3}$ par $\frac{x - 5}{6 x (x + 2)}$ .

$\frac{x - 5}{(x + 3) (6 x (x + 2))} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 3.4

Déplacez $6$ à gauche de $x + 3$ .

$\frac{x - 5}{6 \cdot (x + 3) x (x + 2)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 5}{6 (x + 3) x (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 5}{6 (x + 3) x (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x - 5) (x + 1)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 5}{6 (x + 3) x (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x - 5) (x + 1)}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6 (x + 3) x (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{x + 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $6 (x + 3) x (x + 2)$ .

$\frac{1}{(x + 3) (6 x (x + 2))} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{x + 1}$

Étape 6.2.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{1}{(x + 3) (6 x (x + 2))} \cdot \frac{(x + 3) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 3) (6 x (x + 2))} \cdot \frac{(x + 3) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6 x (x + 2)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{6 x (x + 2)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{6 x (x + 2) (x + 1)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{6 x (x + 2) (x + 1)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6 x (x + 2)}$