Algèbre Exemples

$3 x^{4} - 2 x^{2} = 16$

Étape 1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{4} - 2 x^{2} - 16 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 16 = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 16 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ et dont la somme est $b = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 16 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $6$ plus $- 8$

$3 u^{2} + (6 - 8) u - 16 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 6 u - 8 u - 16 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + 6 u) - 8 u - 16 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (u + 2) - 8 (u + 2) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + 2$ .

$(u + 2) (3 u - 8) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 8) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$3 x^{2} - 8 = 0$

Étape 7

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 7.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 7.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 7.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 7.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 7.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 8

Définissez $3 x^{2} - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Définissez $3 x^{2} - 8$ égal à $0$ .

$3 x^{2} - 8 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $3 x^{2} - 8 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 8$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 8$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 8$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{3}$

Étape 8.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$

Étape 8.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{8}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{8}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.4.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Étape 8.2.4.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 8.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 8.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 8.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 8) = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$