Algèbre Exemples

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x^{6} y^{8} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{6} y^{8} z$ comme ${(x^{3} y^{4})}^{2} z$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{{(x^{3})}^{2} y^{8} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $y^{8}$ comme ${(y^{4})}^{2}$ .

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{{(x^{3})}^{2} {(y^{4})}^{2} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.1.3

Réécrivez ${(x^{3})}^{2} {(y^{4})}^{2}$ comme ${(x^{3} y^{4})}^{2}$ .

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{{(x^{3} y^{4})}^{2} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[3]{\frac{x^{3} y^{4} \sqrt{z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{x^{3} y^{4} \sqrt{z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(\frac{x y}{5})}^{3} \frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1^{3}}{2}}}$ .

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Étape 2.1

Factorisez la puissance parfaite ${(x y)}^{3}$ dans $x^{3} y^{4} \sqrt{z}$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(x y)}^{3} (y \sqrt{z})}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{3}$ dans $125 z^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(x y)}^{3} (y \sqrt{z})}{5^{3} z^{\frac{1^{3}}{2}}}}$

Étape 2.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(x y)}^{3} (y \sqrt{z})}{5^{3} z^{\frac{1^{3}}{2}}}$ .

$\sqrt[3]{{(\frac{x y}{5})}^{3} \frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1^{3}}{2}}}}$

Étape 3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x y}{5} \sqrt[3]{\frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1^{3}}{2}}}}$

Étape 4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{x y}{5} \sqrt[3]{\frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1}{2}}}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$ .

$\frac{x y}{5} \cdot \frac{\sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 6

Associez.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$

Étape 8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$

Étape 8.2

Déplacez $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2})}$

Étape 8.3

Élevez $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 ({\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{1} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2})}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{1 + 2}}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{3}}$

Étape 8.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{3}$ comme $\sqrt{z}$ .

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Étape 8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ comme $z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}})}^{3}}$

Étape 8.6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 8.6.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 8.6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{1}{2 \cdot 3}})}^{3}}$

Étape 8.6.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{1}{6}})}^{3}}$

Étape 8.6.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{1}{6} \cdot 3}}$

Étape 8.6.5

Associez $\frac{1}{6}$ et $3$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3}{6}}}$

Étape 8.6.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 8.6.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3 (1)}{6}}}$

Étape 8.6.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.6.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}$

Étape 8.6.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}$

Étape 8.6.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.6.7

Réécrivez $z^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{z}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{z}$ .

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Étape 9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ comme $z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 9.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{1}{2 \cdot 3}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{1}{6}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{1}{6} \cdot 2}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.5

Associez $\frac{1}{6}$ et $2$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2}{6}}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 9.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2 (1)}{6}}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{1}{3}}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.1.7

Réécrivez $z^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{z}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} \sqrt[3]{z}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 9.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}}$

Étape 10

Multipliez $\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}}$ par $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}} \cdot \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$

Étape 11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}}$ par $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 \sqrt{z} \sqrt{z}}$

Étape 11.2

Déplacez $\sqrt{z}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 (\sqrt{z} \sqrt{z})}$

Étape 11.3

Élevez $\sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 ({\sqrt{z}}^{1} \sqrt{z})}$

Étape 11.4

Élevez $\sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 ({\sqrt{z}}^{1} {\sqrt{z}}^{1})}$

Étape 11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 {\sqrt{z}}^{1 + 1}}$

Étape 11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 11.7

Réécrivez ${\sqrt{z}}^{2}$ comme $z$ .

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Étape 11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{1}}$

Étape 11.7.5

Simplifiez

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y (z^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{z y \sqrt{z}})}{5 z}$

Étape 12.1.2

Réécrivez $z^{\frac{1}{2}}$ comme $z^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{x y (z^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{z y \sqrt{z}})}{5 z}$

Étape 12.1.3

Réécrivez $z^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{z^{3}}$ .

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} \sqrt[3]{z y \sqrt{z}})}{5 z}$

Étape 12.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{z y \sqrt{z}}$ comme ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} {(z y \sqrt{z})}^{\frac{1}{3}})}{5 z}$

Étape 12.1.5

Réécrivez ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{1}{3}}$ comme ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} {(z y \sqrt{z})}^{\frac{2}{6}})}{5 z}$

Étape 12.1.6

Réécrivez ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(z y \sqrt{z})}^{2}}$ .

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} \sqrt[6]{{(z y \sqrt{z})}^{2}})}{5 z}$

Étape 12.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} {(z y \sqrt{z})}^{2}}}{5 z}$

Étape 12.3

Appliquez la règle de produit à $z y \sqrt{z}$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} {(z y)}^{2} {\sqrt{z}}^{2}}}{5 z}$

Étape 12.4

Appliquez la règle de produit à $z y$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) {\sqrt{z}}^{2}}}{5 z}$

Étape 12.5

Réécrivez ${\sqrt{z}}^{2}$ comme $z$ .

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Étape 12.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5 z}$

Étape 12.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5 z}$

Étape 12.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{\frac{2}{2}}}}{5 z}$

Étape 12.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{\frac{2}{2}}}}{5 z}$

Étape 12.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{1}}}{5 z}$

Étape 12.5.5

Simplifiez

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z}}{5 z}$

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} z^{2} y^{2} z}}{5 z}$

Étape 12.6

Associez les exposants.

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Étape 12.6.1

Multipliez $z^{3}$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.6.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3 + 2} y^{2} z}}{5 z}$

Étape 12.6.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{5} y^{2} z}}{5 z}$

Étape 12.6.2

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{y^{2} (z^{5} z^{1})}}{5 z}$

Étape 12.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x y \sqrt[6]{y^{2} z^{5 + 1}}}{5 z}$

Étape 12.6.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{y^{2} z^{6}}}{5 z}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $z^{6}$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{6} y^{2}}}{5 z}$

Étape 13.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x y (z \sqrt[6]{y^{2}})}{5 z}$

Étape 13.3

Réécrivez $\sqrt[6]{y^{2}}$ comme $\sqrt[3]{\sqrt{y^{2}}}$ .

$\frac{x y (z \sqrt[3]{\sqrt{y^{2}}})}{5 z}$

Étape 13.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{x y z \sqrt[3]{y}}{5 z}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y z \sqrt[3]{y}}{5 z}$

Étape 14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \sqrt[3]{y}}{5}$