Algèbre Exemples

$- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x \leq 1$

Étape 1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x \leq 1$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x - 1 \leq 0$

Étape 3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Étape 3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} + 8 x - 2 \leq 0$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 8$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 2$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $8$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{14}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 4 + \sqrt{14}, 4 - \sqrt{14}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 4 - \sqrt{14}$

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$

$x > 4 + \sqrt{14}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 4 - \sqrt{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 4 - \sqrt{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} + 4 (0) \leq 1$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 (4) \leq 1$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4 + \sqrt{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4 + \sqrt{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{2} \cdot {(10)}^{2} + 4 (10) \leq 1$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 10$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 4 - \sqrt{14}$ Vrai

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Faux

$x > 4 + \sqrt{14}$ Vrai

$x < 4 - \sqrt{14}$ Vrai

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Faux

$x > 4 + \sqrt{14}$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 4 - \sqrt{14}$ ou $x \geq 4 + \sqrt{14}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq 4 - \sqrt{14} or x \geq 4 + \sqrt{14}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 4 - \sqrt{14}] \cup [4 + \sqrt{14}, \infty)$

Étape 13