Algèbre Exemples

$5 (\frac{5 + k}{2}) - 4 = {(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k (\frac{5 + k}{2})$

Étape 1

Comme $k$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2

Simplifiez ${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{2^{2}} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{5 + k}{2}$ et $k$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{(5 + k) k}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} \cdot \frac{2}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{(5 + k) k}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{2 \cdot 2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $5 + k$ à partir de ${(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $5 + k$ à partir de ${(5 + k)}^{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $5 + k$ à partir de $- (5 + k) k \cdot 2$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $5 + k$ à partir de $(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.5.2

Réécrivez $- 1 k$ comme $- k$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 2 k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 2.5.4

Soustrayez $2 k$ de $k$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Étape 3

Simplifiez $5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$ .

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Étape 3.1

Associez $5$ et $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4$

Étape 3.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k) - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 \cdot 5 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 8}{2}$

Étape 3.4.4

Soustrayez $8$ de $25$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 k + 17}{2}$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant $k$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{5 k + 17}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} = 0$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{5 k + 17}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{5 k + 17}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{2 \cdot 2} = 0$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 + k) (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Développez $(5 + k) (5 - k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (5 - k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{25 - 5 k + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 \cdot k + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k \cdot k - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.2.1.5.1

Déplacez $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - (k \cdot k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $- 5 k$ et $5 k$ .

$\frac{25 + 0 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.2.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$\frac{25 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{25 - k^{2} + (- (5 k) - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.5

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 17) \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{25 - k^{2} - 5 k \cdot 2 - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.7

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Étape 4.5.8

Multipliez $- 17$ par $2$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 34}{4} = 0$

Étape 4.5.9

Soustrayez $34$ de $25$ .

$\frac{- k^{2} - 10 k - 9}{4} = 0$

Étape 4.5.10

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.5.10.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 4.5.10.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 k$ .

$\frac{- k^{2} - 10 (k) - 9}{4} = 0$

Étape 4.5.10.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 1$ plus $- 9$

$\frac{- k^{2} + (- 1 - 9) k - 9}{4} = 0$

Étape 4.5.10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- k^{2} - 1 k - 9 k - 9}{4} = 0$

Étape 4.5.10.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.5.10.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- k^{2} - 1 k) - 9 k - 9}{4} = 0$

Étape 4.5.10.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{k (- k - 1) + 9 (- k - 1)}{4} = 0$

Étape 4.5.10.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- k - 1$ .

$\frac{(- k - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- k$ .

$\frac{(- (k) - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Étape 4.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (k) - 1 (1)) (k + 9)}{4} = 0$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Étape 4.9

Réécrivez $- (k + 1)$ comme $- 1 (k + 1)$ .

$\frac{- 1 (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Étape 5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(k + 1) (k + 9) = 0$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $k$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k + 1 = 0$

$k + 9 = 0$

Étape 6.2

Définissez $k + 1$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $k + 1$ égal à $0$ .

$k + 1 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$k = - 1$

Étape 6.3

Définissez $k + 9$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $k + 9$ égal à $0$ .

$k + 9 = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$k = - 9$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(k + 1) (k + 9) = 0$ vraie.

$k = - 1, - 9$