Algèbre Exemples

$\frac{3 - \sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{10}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{10}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 - \sqrt{10}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(3 - \sqrt{10}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 3

Développez $(3 - \sqrt{10}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - \sqrt{10} (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{10} (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{5} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- \sqrt{10} \sqrt{5}$ .

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Étape 4.1.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{5 \cdot 10} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $5$ par $10$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{50} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{25 (2)} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{5^{2} \cdot 2} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - (5 \sqrt{2}) - \sqrt{10} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - \sqrt{10} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - \sqrt{2 \cdot 10}}{3}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - \sqrt{20}}{3}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - \sqrt{4 (5)}}{3}$

Étape 4.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{3}$

Étape 4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - (2 \sqrt{5})}{3}$

Étape 4.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5}}{3}$

Étape 4.2

Soustrayez $2 \sqrt{5}$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.3

Soustrayez $5 \sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}{3}$

Forme décimale :

$- 0.19745304 \dots$