Algèbre Exemples

$x^{6} - 4 x^{4} - 8 x^{4} + 32 x^{2} + 16 x^{2} - 64$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$x^{2} x^{4} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 8 x^{4}$ .

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 2.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 2.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16$ .

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 4$ .

$x^{2} {(u - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 2^{2})}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x^{2} {((x + 2) (x - 2))}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$x^{2} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Étape 10

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$ .

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Étape 10.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{4}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 32 x^{2} - 64$

Étape 10.2

Factorisez $4$ à partir de $32 x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) - 64$

Étape 10.3

Factorisez $4$ à partir de $- 64$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Étape 10.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2})$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Étape 10.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2} - 16)$

Étape 11

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 16)$

Étape 12

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 u - 16)$

Étape 13

Factorisez par regroupement.

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Étape 13.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 u$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 (u) - 16)$

Étape 13.1.2

Réécrivez $8$ comme $4$ plus $4$

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + (4 + 4) u - 16)$

Étape 13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 4 u + 4 u - 16)$

Étape 13.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 13.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u^{2} + 4 u) + 4 u - 16)$

Étape 13.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (u (- u + 4) - 4 (- u + 4))$

Étape 13.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 4$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u + 4) (u - 4))$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 4) (x^{2} - 4))$

Étape 15

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} - 4))$

Étape 16

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2^{2} - x^{2}) (x^{2} - 4))$

Étape 17

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 4))$

Étape 18

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 2^{2}))$

Étape 19

Factorisez.

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Étape 19.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) ((x + 2) (x - 2)))$

Étape 19.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Étape 20

Factorisez.

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Étape 20.1

Associez les exposants.

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Étape 20.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((x + 2) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Étape 20.1.2

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} (x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Étape 20.1.3

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (2 - x) (x - 2))$

Étape 20.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1 + 1} (2 - x) (x - 2))$

Étape 20.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (2 - x) (x - 2))$

Étape 20.1.6

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - x) (x - 2))$

Étape 20.1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - (x)) (x - 2))$

Étape 20.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2 + x)) (x - 2))$

Étape 20.1.9

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (- 2 + x) (x - 2))$

Étape 20.1.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (x - 2) (x - 2))$

Étape 20.1.11

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)))$

Étape 20.1.12

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}))$

Étape 20.1.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1})$

Étape 20.1.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2})$

Étape 20.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 {(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}$

Étape 21

Associez les exposants.

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Étape 21.1

Factorisez le signe négatif.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - (4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Étape 21.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Étape 22

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Étape 23

Factorisez ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ à partir de $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 23.1

Factorisez ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ à partir de $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Étape 23.2

Factorisez ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ à partir de $- 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$

Étape 23.3

Factorisez ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 4)$

Étape 24

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 2^{2})$

Étape 25

Factorisez.

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Étape 25.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} ((x + 2) (x - 2))$

Étape 25.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 2)$

Étape 26

Associez les exposants.

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Étape 26.1

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

${(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 26.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 2)}^{1 + 2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 26.3

Additionnez $1$ et $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 26.4

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

${(x + 2)}^{3} ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2})$

Étape 26.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{1 + 2}$

Étape 26.6

Additionnez $1$ et $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$