Algèbre Exemples

$\sin (a) (\cot (a) + \frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)})$

Étape 1

Réécrivez $\cot (a)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (a) (\frac{\cos (a)}{\sin (a)} + \frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\sin (a) (\frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)})$

Étape 3

Pour écrire $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\sin (a) (\frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)})$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (a) (1 + \cos (a))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ par $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\sin (a) (\frac{\cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))} + \frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ par $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\sin (a) (\frac{\cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))} + \frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 + \cos (a)) \sin (a)})$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \cos (a)) \sin (a)$ .

$\sin (a) (\frac{\cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))} + \frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))})$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (a) \frac{\cos (a) (1 + \cos (a)) + \sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (a) \frac{\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a) + \sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.2

Multipliez $\cos (a)$ par $1$ .

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos (a) \cos (a) + \sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.3

Multipliez $\cos (a) \cos (a)$ .

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Étape 6.3.1

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a) + \sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.3.2

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a) + \sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (a) \frac{\cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1} + \sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos^{2} (a) + \sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.4

Multipliez $\sin (a) \sin (a)$ .

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Étape 6.4.1

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos^{2} (a) + \sin^{1} (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.4.2

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos^{2} (a) + \sin^{1} (a) \sin^{1} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos^{2} (a) + {\sin (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \cos^{2} (a) + \sin^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.5

Réécrivez $\cos (a) + \cos^{2} (a) + \sin^{2} (a)$ en forme factorisée.

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Étape 6.5.1

Réorganisez les termes.

$\sin (a) \frac{\cos (a) + \sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.5.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin (a) \frac{\cos (a) + 1}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $\sin (a)$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (a) \frac{\cos (a) + 1}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (a) + 1}{1 + \cos (a)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $\cos (a) + 1$ et $1 + \cos (a)$ .

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Étape 7.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$1$