Algèbre Exemples

$\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((w + 12) w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{8} (w \cdot w + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Étape 1.3

Multipliez $w$ par $w$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La base logarithmique $8$ de $4$ est $\frac{2}{3}$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$

Étape 3

Réécrivez $\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{2} = w^{2} + 12 w$

Étape 4

Résolvez $w$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $w^{2} + 12 w = 8^{2}$ .

$w^{2} + 12 w = 8^{2}$

Étape 4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$w^{2} + 12 w = 64$

Étape 4.3

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$w^{2} + 12 w - 64 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $w^{2} + 12 w - 64$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 64$ et dont la somme est $12$ .

$- 4, 16$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(w - 4) (w + 16) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$w - 4 = 0$

$w + 16 = 0$

Étape 4.6

Définissez $w - 4$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $w - 4$ égal à $0$ .

$w - 4 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$w = 4$

Étape 4.7

Définissez $w + 16$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $w + 16$ égal à $0$ .

$w + 16 = 0$

Étape 4.7.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$w = - 16$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(w - 4) (w + 16) = 0$ vraie.

$w = 4, - 16$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$ vrai.

$w = 4$