Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 4 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 x}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 x}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 x}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{x (x - 4)}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 x}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x - 4)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (x + 4)}{2 x}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x (x - 4)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot 2}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 4)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot 2}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (x + 4)}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 3.2.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 4}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (x + 4)}{2}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (x + 4)}{2}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$(x - 4) \cdot \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{x + 4}{2} - 4 \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.3

Associez $x$ et $\frac{x + 4}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} - 4 \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + 2 (- 2) \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 4)}{2} + 2 \cdot - 2 \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 4)}{2} - 2 (x + 4)$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 4)}{2} - 2 x - 2 \cdot 4$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} - 2 x - 8$

Étape 4

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1

Écrivez $- 2 x$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{- 2 x}{1} - 8$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{- 2 x}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{- 2 x}{1} \cdot \frac{2}{2} - 8$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{- 2 x}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} - 8$

Étape 4.4

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 8}{1}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 4) - 2 x \cdot 2 - 8 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x \cdot 2 - 8 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 - 2 x \cdot 2 - 8 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x - 2 x \cdot 2 - 8 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 4 x - 8 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 4 x - 16}{2}$

Étape 5.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 x - 4 x - 16$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 16}{2}$

Étape 5.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{2}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2}$