Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 6, - 3$

Étape 7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Étape 7.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Étape 7.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $13$ à partir de $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez $13$ comme $6$ plus $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Étape 7.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Étape 7.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Étape 7.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Étape 7.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 9

Définissez $- x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $- x + 6$ égal à $0$ .

$- x + 6 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $- x + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 6$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 9.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x = 6$

Étape 10

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x + 6) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 6, 7$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 6, - 3$

$x = 6, 7$

Étape 13

Consolidez les solutions.

$x = 6, - 3, 6, 7$

Étape 14

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ .

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Étape 14.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $x$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 14.2.1.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Étape 14.2.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 14.2.1.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Étape 14.2.1.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 14.2.1.2.2.1

Factorisez $13$ à partir de $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Étape 14.2.1.2.2.2

Réécrivez $13$ comme $6$ plus $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Étape 14.2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Étape 14.2.1.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Étape 14.2.1.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Étape 14.2.1.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Étape 14.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Étape 14.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 14.2.3

Définissez $- x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.1

Définissez $- x + 6$ égal à $0$ .

$- x + 6 = 0$

Étape 14.2.3.2

Résolvez $- x + 6 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 6$

Étape 14.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 14.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 14.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 14.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 14.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x = 6$

Étape 14.2.4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 14.2.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 14.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x + 6) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 6, 7$

Étape 14.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 15

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Étape 16

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 16.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 16.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 18}{13 (- 6) - {(- 6)}^{2} - 42} \geq 0$

Étape 16.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{230769}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 16.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 16.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18}{13 (0) - {(0)}^{2} - 42} \geq 0$

Étape 16.2.3

Le côté gauche $0.\overline{428571}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 16.3

Testez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6.5$

Étape 16.3.2

Remplacez $x$ par $6.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6.5)}^{2} - 3 \cdot 6.5 - 18}{13 (6.5) - {(6.5)}^{2} - 42} \geq 0$

Étape 16.3.3

Le côté gauche $19$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 16.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 16.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(10)}^{2} - 3 \cdot 10 - 18}{13 (10) - {(10)}^{2} - 42} \geq 0$

Étape 16.4.3

Le côté gauche $- 4.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 16.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 6$ Vrai

$6 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 6$ Vrai

$6 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 17

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 \leq x < 6$ ou $6 < x < 7$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 3 \leq x < 6 or 6 < x < 7$

Notation d’intervalle :

$[- 3, 6) \cup (6, 7)$

Étape 19