Algèbre Exemples

$\frac{1}{2} (4 \log (x) - \log (\sqrt{x^{5}})) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Simplifiez $4 \log (x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (\sqrt{x^{5}})) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{5}$ comme ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (\sqrt{x^{4} x})) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (\sqrt{{(x^{2})}^{2} x})) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (x^{2} \sqrt{x})) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{2} \sqrt{x}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \sqrt{x}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (\sqrt{x})}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \sqrt{x}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{x^{1}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.5.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{2} \sqrt{x}}{x}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x (x \sqrt{x})}{x}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x (x \sqrt{x})}{x^{1}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x (x \sqrt{x})}{x \cdot 1}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x (x \sqrt{x})}{x \cdot 1}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x \sqrt{x}}{1}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.6.2.5

Divisez $x \sqrt{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (x \sqrt{x}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \log (x \sqrt{x})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log ({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 1.8

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt{x}$ .

$\log (x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}}) + \log (\sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x^{2}})$

Étape 3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\log (x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.4

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\log (x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\log (x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\log (x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\log (x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\log (x^{\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log (x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{6}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log (x^{\frac{4 + 3}{6}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.7.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\log (x^{\frac{7}{6}} {\sqrt{x}}^{\frac{1}{2}})$