Algèbre Exemples

$g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Étape 1

Écrivez $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ comme une équation.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 7$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{y^{2}}{4} + 7 = x$ .

$- \frac{y^{2}}{4} + 7 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y^{2}}{4} = x - 7$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 (x - 7)$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 (x - 7)$

Étape 3.4.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 (x - 7)$

Étape 3.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 (x - 7)$

Étape 3.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y^{2} = - 4 (x - 7)$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 (x - 7)$

Étape 3.4.1.1.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 4 (x - 7)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- 4 (x - 7)$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = - 4 x - 4 \cdot - 7$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$y^{2} = - 4 x + 28$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 4 x + 28}$

Étape 3.6

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4 x + 28}$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 28$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{4 (- x) + 28}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$y = \pm \sqrt{4 (- x) + 4 (7)}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (7)$ .

$y = \pm \sqrt{4 (- x + 7)}$

Étape 3.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} (- x + 7)}$

Étape 3.6.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm 2 \sqrt{- x + 7}$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $g^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$

Étape 5

Vérifiez si $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ est l’inverse de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ et $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 7]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $2 \sqrt{- x + 7}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 7}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x + 7 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 7$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 7$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x \leq 7$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 7]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ se trouve sur la plage de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ et comme la plage de $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ est le domaine de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ , $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ est l’inverse de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$

Étape 6