Algèbre Exemples

$y = \sqrt[3]{x - 2} - 4$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y - 2} - 4$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y - 2} - 4 = x$ .

$\sqrt[3]{y - 2} - 4 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{y - 2} = x + 4$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y - 2}}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 2)}^{1} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y - 2 = {(x + 4)}^{3}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x + 4)}^{3}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y - 2 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Étape 2.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + 4^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 4^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

Étape 2.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64 + 2$

Étape 2.5.2

Additionnez $64$ et $2$ .

$y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x - 2} - 4$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {\sqrt[3]{x - 2}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 2}}^{3}$ comme $x - 2$ .

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Étape 4.2.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = (x - 2) + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 + 3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.3

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 2} \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.5

Multipliez $16$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.2.6

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 64 + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.3

Soustrayez $64$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.4

Réécrivez ${(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2}$ comme $(\sqrt[3]{x - 2} - 4) (\sqrt[3]{x - 2} - 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 ((\sqrt[3]{x - 2} - 4) (\sqrt[3]{x - 2} - 4)) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.5

Développez $(\sqrt[3]{x - 2} - 4) (\sqrt[3]{x - 2} - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{x - 2} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) - 4 (\sqrt[3]{x - 2} - 4)) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{x - 2} \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 (\sqrt[3]{x - 2} - 4)) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{x - 2} \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.6.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x - 2} \sqrt[3]{x - 2}$ .

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Étape 4.2.3.6.1.1.1

Élevez $\sqrt[3]{x - 2}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.2.3.6.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x - 2}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.2.3.6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 ({\sqrt[3]{x - 2}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 ({\sqrt[3]{x - 2}}^{2} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.6.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.6.1.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $\sqrt[3]{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 4 \cdot \sqrt[3]{x - 2} - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \sqrt[3]{x - 2} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.6.2

Soustrayez $4 \sqrt[3]{x - 2}$ de $- 4 \sqrt[3]{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 8 \sqrt[3]{x - 2} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 12 (- 8 \sqrt[3]{x - 2}) + 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.8

Simplifiez

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Étape 4.2.3.8.1

Multipliez $- 8$ par $12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.8.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

Étape 4.2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \cdot - 4 + 66$

Étape 4.2.3.10

Multipliez $48$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$

Étape 4.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Additionnez $- 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ et $12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 0 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$

Étape 4.2.4.1.2

Additionnez $x - 66$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$

Étape 4.2.4.1.3

Soustrayez $192$ de $192$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 0 + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 66$

Étape 4.2.4.1.4

Additionnez $x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 66$

Étape 4.2.4.1.5

Additionnez $- 66$ et $66$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x + 0 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$

Étape 4.2.4.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $96 \sqrt[3]{x - 2}$ de $48 \sqrt[3]{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 48 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$

Étape 4.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 48 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Additionnez $- 48 \sqrt[3]{x - 2}$ et $48 \sqrt[3]{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x + 0$

Étape 4.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) - 2} - 4$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $2$ de $66$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64} - 4$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.2.1

Regroupez les termes.

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{x^{3} + 64 + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{x^{3} + 4^{3} + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

Étape 4.3.3.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

Étape 4.3.3.2.4

Simplifiez

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Étape 4.3.3.2.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

Étape 4.3.3.2.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

Étape 4.3.3.2.5

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 4.3.3.2.5.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 48 x} - 4$

Étape 4.3.3.2.5.2

Factorisez $12 x$ à partir de $48 x$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 12 x (4)} - 4$

Étape 4.3.3.2.5.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)} - 4$

Étape 4.3.3.2.6

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)$ .

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Étape 4.3.3.2.6.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $12 x (x + 4)$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)} - 4$

Étape 4.3.3.2.6.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16 + 12 x)} - 4$

Étape 4.3.3.2.7

Additionnez $- 4 x$ et $12 x$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 16)} - 4$

Étape 4.3.3.2.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.3.2.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 4^{2})} - 4$

Étape 4.3.3.2.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 4.3.3.2.8.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})} - 4$

Étape 4.3.3.2.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) {(x + 4)}^{2}} - 4$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $x + 4$ par ${(x + 4)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.3.1

Multipliez $x + 4$ par ${(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.3.1.1

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) {(x + 4)}^{2}} - 4$

Étape 4.3.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{{(x + 4)}^{1 + 2}} - 4$

Étape 4.3.3.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{{(x + 4)}^{3}} - 4$

Étape 4.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = x + 4 - 4$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x - 2} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$