Algèbre Exemples

$\frac{{(2 + i)}^{2} (- i)}{1 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{{(2 + i)}^{2} (- i)}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{{(2 + i)}^{2} (- i)}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{{(2 + i)}^{2} (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${(2 + i)}^{2}$ comme $(2 + i) (2 + i)$ .

$\frac{(2 + i) (2 + i) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.2

Développez $(2 + i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (2 + i) + i (2 + i)) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 2 + 2 i + i (2 + i)) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 2 + 2 i + i \cdot 2 + i i) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(4 + 2 i + i \cdot 2 + i i) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{(4 + 2 i + 2 \cdot i + i i) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.3.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(4 + 2 i + 2 i + i^{1} i) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(4 + 2 i + 2 i + i^{1} i^{1}) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(4 + 2 i + 2 i + i^{1 + 1}) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(4 + 2 i + 2 i + i^{2}) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(4 + 2 i + 2 i - 1) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{(3 + 2 i + 2 i) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.3

Additionnez $2 i$ et $2 i$ .

$\frac{(3 + 4 i) (- i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 (- i) + 4 i (- i)) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(- 3 i + 4 i (- i)) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.6

Multipliez $4 i (- i)$ .

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{(- 3 i - 4 i i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 3 i - 4 (i^{1} i)) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.6.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 3 i - 4 (i^{1} i^{1})) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 3 i - 4 i^{1 + 1}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(- 3 i - 4 i^{2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.7.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(- 3 i - 4 \cdot - 1) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{(- 3 i + 4) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.8

Développez $(- 3 i + 4) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 i (1 - i) + 4 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 i \cdot 1 - 3 i (- i) + 4 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 i \cdot 1 - 3 i (- i) + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.9.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 3 i - 3 i (- i) + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.2

Multipliez $- 3 i (- i)$ .

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Étape 2.2.9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 i + 3 i i + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 i + 3 (i^{1} i) + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 i + 3 (i^{1} i^{1}) + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 i + 3 i^{1 + 1} + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 i + 3 i^{2} + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 3 i + 3 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 i - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{- 3 i - 3 + 4 + 4 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 3 i - 3 + 4 - 4 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $4 i$ de $- 3 i$ .

$\frac{- 3 + 4 - 7 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.9.3

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$\frac{1 - 7 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 7 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 7 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 7 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - 7 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 7 i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - 7 i}{2}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{1 - 7 i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{- 7 i}{2}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}$