Algèbre Exemples

$f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$ comme une équation.

$y = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 7 \log (\frac{1}{4} y - 3) + 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $7 \log (\frac{1}{4} y - 3) + 2 = x$ .

$7 \log (\frac{1}{4} y - 3) + 2 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$7 \log (\frac{1}{4} y - 3) = x - 2$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $7 \log (\frac{1}{4} y - 3) = x - 2$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $7 \log (\frac{1}{4} y - 3) = x - 2$ par $7$ .

$\frac{7 \log (\frac{1}{4} y - 3)}{7} = \frac{x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \log (\frac{1}{4} y - 3)}{7} = \frac{x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\log (\frac{1}{4} y - 3)$ par $1$ .

$\log (\frac{1}{4} y - 3) = \frac{x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\log (\frac{1}{4} y - 3) = \frac{x}{7} - \frac{2}{7}$

Étape 3.4

Réécrivez $\log (\frac{1}{4} y - 3) = \frac{x}{7} - \frac{2}{7}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} = \frac{1}{4} y - 3$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4} y - 3 = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$ .

$\frac{1}{4} y - 3 = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$

Étape 3.5.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $y$ .

$\frac{y}{4} - 3 = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$

Étape 3.5.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{4} = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3$

Étape 3.5.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$

Étape 3.5.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.5.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y}{4} = 4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$

Étape 3.5.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$

Étape 3.5.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.5.2.1

Simplifiez $4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$ .

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Étape 3.5.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 4 \cdot 3$

Étape 3.5.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$ est l’inverse de $f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2}{7} - \frac{2}{7}} + 12$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2 - 2}{7}} + 12$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 0}{7}} + 12$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $7 \log (\frac{1}{4} x - 3)$ et $0$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3)}{7}} + 12$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{x}{4} - 3)}{7}} + 12$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez $7 \log (\frac{x}{4} - 3)$ en déplaçant $7$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{\log ({(\frac{x}{4} - 3)}^{7})}{7}} + 12$

Étape 5.2.3.5

Développez $\log ({(\frac{x}{4} - 3)}^{7})$ en déplaçant $7$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{x}{4} - 3)}{7}} + 12$

Étape 5.2.3.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{x}{4} - 3)}{7}} + 12$

Étape 5.2.3.6.2

Divisez $\log (\frac{x}{4} - 3)$ par $1$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\log (\frac{x}{4} - 3)} + 12$

Étape 5.2.3.7

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot (\frac{x}{4} - 3) + 12$

Étape 5.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot - 3 + 12$

Étape 5.2.3.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot - 3 + 12$

Étape 5.2.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x + 4 \cdot - 3 + 12$

Étape 5.2.3.10

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x - 12 + 12$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 12 + 12$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) - 3) + 2$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}) + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}})) + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}) + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + \frac{1}{4} \cdot (4 (3)) - 3) + 2$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 3) - 3) + 2$

Étape 5.3.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3 - 3) + 2$

Étape 5.3.3.2

Associez les termes opposés dans $10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 0) + 2$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$ et $0$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}) + 2$

Étape 5.3.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{x}{7} - \frac{2}{7}$ de l’exposant.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 ((\frac{x}{7} - \frac{2}{7}) \log (10)) + 2$

Étape 5.3.3.4

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 ((\frac{x}{7} - \frac{2}{7}) \cdot 1) + 2$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $\frac{x}{7} - \frac{2}{7}$ par $1$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 (\frac{x}{7} - \frac{2}{7}) + 2$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 (\frac{x}{7}) + 7 (- \frac{2}{7}) + 2$

Étape 5.3.3.7

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 (\frac{x}{7}) + 7 (- \frac{2}{7}) + 2$

Étape 5.3.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 7 (- \frac{2}{7}) + 2$

Étape 5.3.3.8

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{7}$ dans le numérateur.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 7 (\frac{- 2}{7}) + 2$

Étape 5.3.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 7 (\frac{- 2}{7}) + 2$

Étape 5.3.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x - 2 + 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$ est l’inverse de $f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$