Algèbre Exemples

${(\frac{2}{3} - \frac{3}{2} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $i$ et $\frac{3}{2}$ .

${(\frac{2}{3} - \frac{i \cdot 3}{2})}^{2}$

Étape 1.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

${(\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2})}^{2}$ comme $(\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2}) (\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2})$ .

$(\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2}) (\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2}) (\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} (\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} (\frac{2}{3} - \frac{3 i}{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 i}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- 3 i}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- 3 i}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9} + \frac{1}{3} (- 3 i) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 i$ .

$\frac{4}{9} + \frac{1}{3} (3 (- i)) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9} + \frac{1}{3} (3 (- i)) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9} - i - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 i}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{9} - i + \frac{- 3 i}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 i$ .

$\frac{4}{9} - i + \frac{3 (- i)}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9} - i + \frac{3 (- i)}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9} - i + \frac{- i}{2} \cdot 2 - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9} - i + \frac{- i}{2} \cdot 2 - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9} - i - i - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Étape 3.1.6

Multipliez $- \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4}{9} - i - i + 1 \frac{3 i}{2} \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $\frac{3 i}{2}$ par $1$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.6.3

Multipliez $\frac{3 i}{2}$ par $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{3 i (3 i)}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{9 i i}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{9 (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{9 i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{9 i^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{9 i^{2}}{4}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Étape 3.1.8

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{4}{9} - i - i + \frac{- 9}{4}$

Étape 3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{9} - i - i - \frac{9}{4}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{4}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} - i - i$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{9}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9} - i - i$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9} - i - i$

Étape 3.4.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9} - i - i$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9} - i - i$

Étape 3.4.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{9 \cdot 9}{36} - i - i$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 4 - 9 \cdot 9}{36} - i - i$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 - 9 \cdot 9}{36} - i - i$

Étape 3.6.2

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$\frac{16 - 81}{36} - i - i$

Étape 3.6.3

Soustrayez $81$ de $16$ .

$\frac{- 65}{36} - i - i$

Étape 3.7

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$\frac{- 65}{36} - 2 i$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{65}{36} - 2 i$