Algèbre Exemples

$y = x^{2} + 1$ $x^{2} + y^{2} = 1$

Étape 1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $x^{2} + 1$ dans chaque équation.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x^{2} + y^{2} = 1$ par $x^{2} + 1$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2} = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$x^{2} + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2

Résolvez $x$ dans $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 3 u + 1 = 1$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 3 u + 1 - 1 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $u^{2} + 3 u + 1 - 1$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u^{2} + 3 u + 0 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $u^{2} + 3 u$ et $0$ .

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.4

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + 3 u$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.4.2

Factorisez $u$ à partir de $3 u$ .

$u \cdot u + u \cdot 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.4.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 3$ .

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.6

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.7

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u + 3) = 0$ vraie.

$u = 0, - 3$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.11.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.11.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.11.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.11.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 2.13.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.13.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.13.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 2.14

La solution à $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ est $x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} + 1$ par $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} + 1$ .

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Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $i \sqrt{3}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} + 1$ par $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{3}$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} + 1$ par $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} + 1$ .

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $i \sqrt{3}$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} + 1$ par $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{3}$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- i \sqrt{3}$ dans chaque équation.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} + 1$ par $- i \sqrt{3}$ .

$y = {(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$y = {(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.3

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.2.1.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$y = 1, x = 0$

$y = - 2, x = i \sqrt{3}$

$y = - 2, x = - i \sqrt{3}$

Étape 9