Algèbre Exemples

$(a + b - \frac{2 a b}{a + b}) \div (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Étape 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + b) a$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$ par $\frac{(a + b) a}{(a + b) a}$ .

$\frac{(a + b) a}{(a + b) a} \cdot \frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{(a + b) a (a + b - \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a (- \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 4.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 a b}{a + b}$ dans le numérateur.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $a + b$ à partir de $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) (a) \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + a (- 2 a b)}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a^{1}) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{1 + 1} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $a + b$ à partir de $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) (a) \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $a$ à partir de $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Étape 4.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $(a + b) a \cdot a$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a^{2}$ à partir de $(a + b) a b$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.1.3

Factorisez $a^{2}$ à partir de $- 2 a^{2} b$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.1.4

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b)$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.1.5

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b - 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} (- 2 b + a \cdot a^{- 1} (a + b) + b a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.1.2

Remettez dans l’ordre $a \cdot a^{- 1} (a + b)$ et $b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b + b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $1$ à partir de $b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b + 1 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$\frac{a^{2} (- 2 b + (- 1 + 2) (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 (b a^{- 1} (a + b)) + 2 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.2

Associez les exposants.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $a$ par $a^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $a$ par $a^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1} a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1 - 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.2.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{0} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez $a^{0}$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + 1 (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $a + b$ par $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a + b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.3

Additionnez $- 2 b$ et $b$ .

$\frac{a^{2} (- b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.4

Additionnez $- 1 b a^{- 1} (a + b)$ et $2 b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a$ .

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Étape 5.2.5.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 5.2.5.1.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 a^{- 1} b (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.5.1.2

Déplacez $- b$ .

$\frac{a^{2} (1 a^{- 1} b (a + b) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $1 a^{- 1} b (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- b$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{1}{a} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.7

Associez $b$ et $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 5.2.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b}{a}$ dans le numérateur.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.10

Multipliez $- \frac{b}{a} b$ .

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Étape 5.2.10.1

Associez $b$ et $\frac{b}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b \cdot b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.10.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.10.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b^{1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1 + 1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{2}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.11

Additionnez $- b$ et $b$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a + 0))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.2.12

Additionnez $- \frac{b^{2}}{a} - a$ et $0$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.3

Pour écrire $- a$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a \cdot \frac{a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.4

Associez $- a$ et $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} + \frac{- a \cdot a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a \cdot a}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.6

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - (a \cdot a)}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{a^{2} \cdot - 1 \frac{- b^{2} - a^{2}}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.7

Associez les exposants.

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Étape 5.7.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (a^{2} \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.7.2

Associez $a^{2}$ et $\frac{- b^{2} - a^{2}}{a}$ .

$\frac{- \frac{a^{2} (- b^{2} - a^{2})}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun à $a^{2}$ et $a$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} (- b^{2} - a^{2})$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a^{1}}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.8.2.2

Factorisez $a$ à partir de $a^{1}$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.8.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.8.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{a (- b^{2} - a^{2})}{1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.8.2.5

Divisez $a (- b^{2} - a^{2})$ par $1$ .

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- (- a b^{2} + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- (- a b^{2} - a \cdot a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.12

Multipliez $a$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.1

Déplacez $a^{2}$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.12.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 5.12.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a^{1}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- (- a b^{2} - a^{2 + 1})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.12.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.13

Factorisez $a$ à partir de $- a b^{2} - a^{3}$ .

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Étape 5.13.1

Factorisez $a$ à partir de $- a b^{2}$ .

$\frac{- (a (- b^{2}) - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.13.2

Factorisez $a$ à partir de $- a^{3}$ .

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 5.13.3

Factorisez $a$ à partir de $a (- b^{2}) + a (- a^{2})$ .

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a \cdot a + a (- b) + (a + b) b}$

Étape 6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + a (- b) + (a + b) b}$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + (a + b) b}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b \cdot b}$

Étape 6.5

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b^{2}}$

Étape 6.6

Additionnez $- a b$ et $a b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + 0 + b^{2}}$

Étape 6.7

Additionnez $a^{2}$ et $0$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $- b^{2} - a^{2}$ et $a^{2} + b^{2}$ .

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- b^{2}$ .

$\frac{- a (- (b^{2}) - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a^{2}$ .

$\frac{- a (- (b^{2}) - (a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (b^{2}) - (a^{2})$ .

$\frac{- a (- (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Étape 7.4

Réécrivez $- (b^{2} + a^{2})$ comme $- 1 (b^{2} + a^{2})$ .

$\frac{- a (- 1 (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Étape 7.7

Divisez $- a \cdot (- 1)$ par $1$ .

$- a \cdot (- 1)$

Étape 8

Multipliez $- a (- 1)$ .

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 a$

Étape 8.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$a$