Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - x - 20} \div \frac{3 x^{2} - 24 x + 45}{12 x^{2} - 48 x - 60}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - x - 20} \cdot \frac{12 x^{2} - 48 x - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x^{2} - x - 20} \cdot \frac{12 x^{2} - 48 x - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{12 x^{2} - 48 x - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{12 x^{2} - 48 x - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{12 x^{2} - 48 x - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $12 x^{2} - 48 x - 60$ et $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2}) - 48 x - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 48 x$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2}) + 3 (- 16 x) - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x^{2}) + 3 (- 16 x)$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x) - 60}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4.2.4

Factorisez $3$ à partir de $- 60$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x) + 3 \cdot - 20}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x^{2} - 16 x) + 3 (- 20)$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x - 20)}{3 x^{2} - 24 x + 45}$

Étape 4.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x - 20)}{3 (x^{2}) - 24 x + 45}$

Étape 4.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x - 20)}{3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 45}$

Étape 4.2.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x - 20)}{3 (x^{2} - 8 x) + 45}$

Étape 4.2.6.4

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x - 20)}{3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15}$

Étape 4.2.6.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x - 20)}{3 (x^{2} - 8 x + 15)}$

Étape 4.2.6.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{3 (4 x^{2} - 16 x - 20)}{3 (x^{2} - 8 x + 15)}$

Étape 4.2.6.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 x^{2} - 16 x - 20}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 16 x - 20$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x^{2}) - 16 x - 20}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) - 20}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot - 5}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot - 5}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot - 5$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x^{2} - 4 x - 5)}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 ((x - 5) (x + 1))}{x^{2} - 8 x + 15}$

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x - 5) (x + 1)}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x - 5) (x + 1)}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x - 5) (x - 3)$ .

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x - 5) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{4 (x - 5) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{4 (x - 5) (x + 1)}{x - 5}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $4 (x - 5) (x + 1)$ .

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{(x - 5) (4 (x + 1))}{x - 5}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{(x - 5) (4 (x + 1))}{x - 5}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (x + 1)}{x - 5}$