Algèbre Exemples

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} > 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 > 0$

Étape 2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 \cdot \frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Étape 3

Associez $- 2$ et $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} + \frac{- 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Étape 5

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$1 - 2 | 2 x - 3 | = 0$

$| 2 x - 3 | = 0$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 | 2 x - 3 | = - 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $| 2 x - 3 |$ par $1$ .

$| 2 x - 3 | = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$| 2 x - 3 | = \frac{1}{2}$

Étape 8

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm \frac{1}{2}$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$2 x - 3 = \frac{1}{2}$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{1}{2} + 3$

Étape 9.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x = \frac{1 + 6}{2}$

Étape 9.2.5.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$2 x = \frac{7}{2}$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{7}{4}$

Étape 9.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$2 x - 3 = - \frac{1}{2}$

Étape 9.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.5.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = - \frac{1}{2} + 3$

Étape 9.5.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.5.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 9.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 9.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x = \frac{- 1 + 6}{2}$

Étape 9.5.5.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$2 x = \frac{5}{2}$

Étape 9.6

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Étape 9.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Étape 9.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Étape 9.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.6.3.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.6.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Étape 9.6.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 9.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

Étape 10

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Étape 11

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 12

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 14

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Étape 15

Consolidez les solutions.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}$

Étape 16

Déterminez le domaine de $\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2$ .

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Étape 16.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{| 2 x - 3 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 2 x - 3 | = 0$

Étape 16.2

Résolvez $x$ .

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Étape 16.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Étape 16.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 16.2.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 16.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 16.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 16.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 16.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 16.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 16.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Étape 17

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

$x > \frac{7}{4}$

Étape 18

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 18.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 18.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{| 2 (0) - 3 |} > 2$

Étape 18.1.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 18.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.38$

Étape 18.2.2

Remplacez $x$ par $1.38$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{| 2 (1.38) - 3 |} > 2$

Étape 18.2.3

Le côté gauche $4.1\overline{6}$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 18.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.62$

Étape 18.3.2

Remplacez $x$ par $1.62$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{| 2 (1.62) - 3 |} > 2$

Étape 18.3.3

Le côté gauche $4.1\overline{6}$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 18.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 18.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 18.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{| 2 (4) - 3 |} > 2$

Étape 18.4.3

Le côté gauche $0.2$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 18.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{5}{4}$ Faux

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Vrai

$x > \frac{7}{4}$ Faux

$x < \frac{5}{4}$ Faux

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Vrai

$x > \frac{7}{4}$ Faux

Étape 19

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ ou $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Étape 20

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2} or \frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$

Étape 21