Algèbre Exemples

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Étape 1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ par $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \log (x + y)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez $2 \log (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

Étape 4.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

Étape 4.1.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

Étape 4.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

Étape 5

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1.1

Soustrayez $4 x y$ des deux côtés de l’équation.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2.2

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2.3.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 6.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Étape 6.1.2.3.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Étape 6.1.3

Soustrayez $4 x y$ de $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

Étape 6.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 y$ et $c = y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2 y$ et $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3

Simplifiez

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Étape 6.4.1.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

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Étape 6.4.1.3.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.1.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.1.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 6.4.1.3.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.3.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.4

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

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Étape 6.4.1.3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.5

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 6.4.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.6

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 6.4.1.3.7.1

Multipliez $0$ par $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.3.7.2

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.1.6

$2 y$ plus ou moins $0$ est $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 y}{2}$

Étape 6.4.3.2

Divisez $y$ par $1$ .

$x = y$

Étape 6.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = y$ Racines doubles