Algèbre Exemples

$\log_{8} (16) + 2 \log_{8} (x) = 2$

Étape 1

La base logarithmique $8$ de $16$ est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} + 2 \log_{8} (x) = 2$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\log_{8} (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $\frac{4}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 \log_{8} (x) = 2 - \frac{4}{3}$

Étape 2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 \log_{8} (x) = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 \log_{8} (x) = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \log_{8} (x) = \frac{2 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 \log_{8} (x) = \frac{6 - 4}{3}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$2 \log_{8} (x) = \frac{2}{3}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 \log_{8} (x) = \frac{2}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 \log_{8} (x) = \frac{2}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \log_{8} (x)}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \log_{8} (x)}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\log_{8} (x)$ par $1$ .

$\log_{8} (x) = \frac{\frac{2}{3}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{8} (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{8} (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{8} (x) = \frac{1}{3}$

Étape 4

Réécrivez $\log_{8} (x) = \frac{1}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{\frac{1}{3}} = x$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x = 8^{\frac{1}{3}}$ .

$x = 8^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez $8^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2^{1}$

Étape 5.2.3

Évaluez l’exposant.

$x = 2$