Algèbre Exemples

$P (x) = x^{5} + x^{2} - x - 1$

Étape 1

Regroupez les termes.

$P (x) = x^{5} - x + x^{2} - 1$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$P (x) = x \cdot x^{4} - x + x^{2} - 1$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$P (x) = x \cdot x^{4} + x \cdot - 1 + x^{2} - 1$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$ .

$P (x) = x (x^{4} - 1) + x^{2} - 1$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$P (x) = x ({(x^{2})}^{2} - 1) + x^{2} - 1$

Étape 4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$P (x) = x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) + x^{2} - 1$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$P (x) = x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) + x^{2} - 1$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$P (x) = x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) + x^{2} - 1$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$P (x) = x ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) + x^{2} - 1$

Étape 6.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$P (x) = x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) + x^{2} - 1$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$P (x) = x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + x^{2} - 1$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$P (x) = x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + x^{2} - 1^{2}$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$P (x) = x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1)$

Étape 9

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1)$

Étape 9.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (1)$

Étape 9.3

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (1)$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1) + 1)$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 1)$

Étape 11

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 11.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 1)$

Étape 11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 1)$

Étape 11.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{3} + x \cdot 1 + 1)$

Étape 12

Multipliez $x$ par $1$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{3} + x + 1)$