Algèbre Exemples

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} = \frac{3 t - 1}{t^{2} - 25}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{3 t - 1}{t^{2} - 25}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{t^{2} - 25} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{t^{2} - 25}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{t^{2} - 5^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 5$ .

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{6}{t + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{6}{t + 5} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{2}{t - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 5}{t + 5}$ .

$\frac{6}{t + 5} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{2}{t - 5} \cdot \frac{t + 5}{t + 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(t + 5) (t - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{6}{t + 5}$ par $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{6 (t - 5)}{(t + 5) (t - 5)} + \frac{2}{t - 5} \cdot \frac{t + 5}{t + 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{t - 5}$ par $\frac{t + 5}{t + 5}$ .

$\frac{6 (t - 5)}{(t + 5) (t - 5)} + \frac{2 (t + 5)}{(t - 5) (t + 5)} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(t - 5) (t + 5)$ .

$\frac{6 (t - 5)}{(t + 5) (t - 5)} + \frac{2 (t + 5)}{(t + 5) (t - 5)} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (t - 5) + 2 (t + 5)}{(t + 5) (t - 5)} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (t - 5) + 2 (t + 5) - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 t + 6 \cdot - 5 + 2 (t + 5) - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 (t + 5) - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 2 \cdot 5 - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.7.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - (3 t) - - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.7.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - 3 t - - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.7.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - 3 t + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.8

Additionnez $6 t$ et $2 t$ .

$\frac{8 t - 30 + 10 - 3 t + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $3 t$ de $8 t$ .

$\frac{5 t - 30 + 10 + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.10

Additionnez $- 30$ et $10$ .

$\frac{5 t - 20 + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 2.11

Additionnez $- 20$ et $1$ .

$\frac{5 t - 19}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 t - 19}{(t + 5) (t - 5)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(t + 5) (t - 5) = 0$

Étape 4

Résolvez $t$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t + 5 = 0$

$t - 5 = 0$

Étape 4.2

Définissez $t + 5$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $t + 5$ égal à $0$ .

$t + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 5$

Étape 4.3

Définissez $t - 5$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $t - 5$ égal à $0$ .

$t - 5 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 5$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(t + 5) (t - 5) = 0$ vraie.

$t = - 5, 5$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$t = - 5, t = 5$

Étape 6