Algèbre Exemples

$f (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 3.1.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 3.1.2

Développez $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (1 + x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

Étape 3.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Étape 3.3.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Étape 3.3.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.7

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

Étape 3.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x + 1}$ approche de $0$ .

$e^{0}$

Étape 3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 1$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 1$

Aucune asymptote oblique

Étape 7