Algèbre Exemples

$- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0$

Étape 1

Écrivez $- \frac{1}{2} \cdot | 4 x - 5 | + 3 < 0$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$4 x - 5 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x \geq 5$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x \geq 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x \geq 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{5}{4}$

Étape 1.3

Dans la partie où $4 x - 5$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$4 x - 5 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x < 5$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x < 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x < 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Étape 1.6

Dans la partie où $4 x - 5$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.1.2.3

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.1.2.4

Réécrivez l’expression.

${\begin{cases} - 1 (2 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.1.4.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 6}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.8.5.2

Additionnez $5$ et $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x) - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x + 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.4

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.5.3

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.5.4

Réécrivez l’expression.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 1 (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.7

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.7.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.7.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 6}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 1.9.5.2

Additionnez $- 5$ et $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{1}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $- 2 x + \frac{11}{2} < 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $\frac{11}{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x < - \frac{11}{2}$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x < - \frac{11}{2}$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x < - \frac{11}{2}$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x > - \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x > - \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x > 1 (\frac{11}{2}) \frac{1}{2}$

Étape 2.2.3.3.2

Multipliez $\frac{11}{2}$ par $1$ .

$x > \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.2.3.3.3

Multipliez $\frac{11}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{11}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x > \frac{11}{4}$

Étape 3

Résolvez $2 x + \frac{1}{2} < 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x < - \frac{1}{2}$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 x < - \frac{1}{2}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x < - \frac{1}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x < - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x < - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x < - \frac{1}{4}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x < - \frac{1}{4}$ ou $x > \frac{11}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{1}{4} or x > \frac{11}{4}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (\frac{11}{4}, \infty)$

Étape 6