Algèbre Exemples

$\frac{1}{4} \cdot \ln (16 q^{8}) - \ln (3) = \ln (24)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (16 q^{8})$ .

$\frac{\ln (16 q^{8})}{4} - \ln (3) = \ln (24)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\frac{\ln (16 q^{8})}{4} - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $\frac{\ln (16 q^{8})}{4} - \ln (3) - \ln (24)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (16 q^{8})}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (16 q^{8})$ .

$\frac{1}{4} \ln (16 q^{8}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (16 q^{8})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$\ln ({(16 q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $16 q^{8}$ .

$\ln (16^{\frac{1}{4}} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.4

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\ln ({(2^{4})}^{\frac{1}{4}} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{4 (\frac{1}{4})} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (2^{4 (\frac{1}{4})} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (2^{1} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.7

Évaluez l’exposant.

$\ln (2 {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.8

Multipliez les exposants dans ${(q^{8})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 3.1.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2 q^{8 (\frac{1}{4})}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.8.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.1.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\ln (2 q^{4 (2) \frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (2 q^{4 \cdot 2 \frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (2 q^{2}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 q^{2}}{3}) - \ln (24) = 0$

Étape 3.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2 q^{2}}{3}}{24}) = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{2 q^{2}}{3} \cdot \frac{1}{24}) = 0$

Étape 3.1.5

Associez.

$\ln (\frac{2 q^{2} \cdot 1}{3 \cdot 24}) = 0$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $24$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 q^{2} \cdot 1$ .

$\ln (\frac{2 (q^{2} \cdot 1)}{3 \cdot 24}) = 0$

Étape 3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot 24$ .

$\ln (\frac{2 (q^{2} \cdot 1)}{2 (3 \cdot 12)}) = 0$

Étape 3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{2 (q^{2} \cdot 1)}{2 (3 \cdot 12)}) = 0$

Étape 3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{q^{2} \cdot 1}{3 \cdot 12}) = 0$

Étape 3.1.7

Multipliez.

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Étape 3.1.7.1

Multipliez $q^{2}$ par $1$ .

$\ln (\frac{q^{2}}{3 \cdot 12}) = 0$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $3$ par $12$ .

$\ln (\frac{q^{2}}{36}) = 0$

Étape 4

Pour résoudre $q$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{q^{2}}{36})} = e^{0}$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{q^{2}}{36}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{q^{2}}{36}$

Étape 6

Résolvez $q$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{q^{2}}{36} = e^{0}$ .

$\frac{q^{2}}{36} = e^{0}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $36$ .

$36 \frac{q^{2}}{36} = 36 e^{0}$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$36 \frac{q^{2}}{36} = 36 e^{0}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$q^{2} = 36 e^{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $36 e^{0}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$q^{2} = 36 \cdot 1$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $36$ par $1$ .

$q^{2} = 36$

Étape 6.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$q = \pm \sqrt{36}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$q = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$q = \pm 6$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$q = 6$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$q = - 6$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$q = 6, - 6$