Algèbre Exemples

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Étape 2

Pour écrire $\log_{12} (n + 14)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $\log_{12} (n + 14)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez $2 \log_{12} (n + 14)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Étape 5.1.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

Étape 5.1.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

Étape 5.1.2

Réécrivez $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ .

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

Étape 5.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ .

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.4.2

Appliquez la règle de produit à $4 {(n + 14)}^{2}$ .

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.7

Évaluez l’exposant.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.8

Multipliez les exposants dans ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.9

Simplifiez

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.11.1

Multipliez $2$ par $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Étape 5.1.11.2

Multipliez les exposants dans ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1.11.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Étape 5.1.11.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.11.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Étape 5.1.11.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

Étape 5.1.12

Simplifiez

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

Étape 5.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

Étape 5.1.14

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.14.1

Déplacez $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

Étape 5.1.14.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

Étape 6

Réécrivez $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

Étape 7

Résolvez $n$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ .

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

Étape 7.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

Étape 7.3

Soustrayez $144$ des deux côtés de l’équation.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

Étape 7.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 n^{2} + 28 n - 144$ .

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Étape 7.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 n^{2}$ .

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

Étape 7.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $28 n$ .

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

Étape 7.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 144$ .

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Étape 7.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 n^{2} + 2 (14 n)$ .

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Étape 7.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ .

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

Étape 7.4.2

Factorisez.

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Étape 7.4.2.1

Factorisez $n^{2} + 14 n - 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 72$ et dont la somme est $14$ .

$- 4, 18$

Étape 7.4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

Étape 7.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

Étape 7.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

Étape 7.6

Définissez $n - 4$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

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Étape 7.6.1

Définissez $n - 4$ égal à $0$ .

$n - 4 = 0$

Étape 7.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$n = 4$

Étape 7.7

Définissez $n + 18$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $n + 18$ égal à $0$ .

$n + 18 = 0$

Étape 7.7.2

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$n = - 18$

Étape 7.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ vraie.

$n = 4, - 18$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ vrai.

$n = 4$