Algèbre Exemples

$\frac{x^{4} + x^{3} - 30 x^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \div \frac{x^{3} + x^{2} - 30 x}{x^{2} - 36}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 30 x^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + x^{3} - 30 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{3} - 30 x^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} x - 30 x^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 30 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 30}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 2.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 30}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 2.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 30$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} + x - 30)}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $1$ .

$- 5, 6$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} ((x - 5) (x + 6))}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{3} + x^{2} - 30 x}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x^{2} - 30 x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 30 x}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 30 x}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 30 x$ .

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 30}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 30}$

Étape 5.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 30$ .

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x (x^{2} + x - 30)}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} + x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $1$ .

$- 5, 6$

Étape 5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x ((x - 5) (x + 6))}$

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6)}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x (x - 5) (x + 6)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{x^{2} (x - 5) (x + 6) ((x + 6) (x - 6))}{(x - 6) (x + 3) (x (x - 5) (x + 6))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x - 5) (x + 6) ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{x (((x (x - 5)) (x + 6)) ((x + 6) (x - 6)))}{(x - 6) (x + 3) (x (x - 5) (x + 6))}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $(x - 6) (x + 3) (x (x - 5) (x + 6))$ .

$\frac{x (((x (x - 5)) (x + 6)) ((x + 6) (x - 6)))}{x ((x - 6) (x + 3) ((x - 5) (x + 6)))}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (((x (x - 5)) (x + 6)) ((x + 6) (x - 6)))}{x ((x - 6) (x + 3) ((x - 5) (x + 6)))}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x (x - 5)) (x + 6)) ((x + 6) (x - 6))}{(x - 6) (x + 3) ((x - 5) (x + 6))}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 5) (x + 6) ((x + 6) (x - 6))}{(x - 6) (x + 3) ((x - 5) (x + 6))}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x) (x + 6)) ((x + 6) (x - 6))}{(x - 6) (x + 3) (x + 6)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 6) ((x + 6) (x - 6))}{(x - 6) (x + 3) (x + 6)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x) ((x + 6) (x - 6))}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x ((x + 6) (x - 6))}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x) (x + 6)}{x + 3}$

$\frac{x (x + 6)}{x + 3}$