Algèbre Exemples

$\sin (2 x) > 0$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x > \arcsin (0)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x > 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 x > 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 x > 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x > 0$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 5.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (1)) > 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (2)) > 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.75680249$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < π$ Faux

$0 < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < π$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12