Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{2} + 10 x}{x^{2} + 2 x + 1} \div \frac{20 x + 40}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x^{2} + 10 x}{x^{2} + 2 x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} + 2 x + 1^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{20 x + 40}{x^{2} - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 4.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x^{2} + 10 x}{x^{2} + 2 x + 1} \div \frac{20 x + 40}{x^{2} - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{20 x + 40}{x^{2} - 1} = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$20 x + 40 = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $40$ des deux côtés de l’équation.

$20 x = - 40$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $20 x = - 40$ par $20$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $20 x = - 40$ par $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{- 40}{20}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x}{20} = \frac{- 40}{20}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 40}{20}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Divisez $- 40$ par $20$ .

$x = - 2$

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = - 1, x = 1$

Étape 8