Algèbre Exemples

${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})}^{2}$ comme $(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 2

Développez $(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{3}$ par $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{3}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{\sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9} - \frac{2^{1} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.5

Multipliez $- \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{3}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{\sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.5.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{1} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Étape 3.1.7

Multipliez $- \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{3} \frac{i \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.1.7.3

Multipliez $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.8

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.9

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.7.12

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Étape 3.1.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Étape 3.1.8.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Étape 3.1.8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Étape 3.1.8.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 3.1.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 3.1.8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{1}}{9}$

Étape 3.1.8.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 1 \cdot 2}{9}$

Étape 3.1.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2}{9}$

Étape 3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2}{9}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9}$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9}$

Étape 3.4

Soustrayez $\frac{2 i}{9}$ de $- \frac{2 i}{9}$ .

$\frac{0}{9} - 2 \frac{2 i}{9}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez $0$ par $9$ .

$0 - 2 \frac{2 i}{9}$

Étape 4.2

Multipliez $- 2 \frac{2 i}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{2 i}{9}$ .

$0 + \frac{- 2 (2 i)}{9}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 + \frac{- 4 i}{9}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{4 i}{9}$

Étape 5

Soustrayez $\frac{4 i}{9}$ de $0$ .

$- \frac{4 i}{9}$