Algèbre Exemples

$e^{k^{2} + 9} \cdot e^{- k} = e^{2 k + 5} \cdot e^{3 k - 4}$

Étape 1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{2 k + 5} \cdot e^{3 k - 4}$

Étape 2

Multipliez $e^{2 k + 5}$ par $e^{3 k - 4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{2 k + 5 + 3 k - 4}$

Étape 2.2

Additionnez $2 k$ et $3 k$ .

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{5 k + 5 - 4}$

Étape 2.3

Soustrayez $4$ de $5$ .

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{5 k + 1}$

Étape 3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$k^{2} + 9 - k = 5 k + 1$

Étape 4

Résolvez $k$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $k$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $5 k$ des deux côtés de l’équation.

$k^{2} + 9 - k - 5 k = 1$

Étape 4.1.2

Soustrayez $5 k$ de $- k$ .

$k^{2} + 9 - 6 k = 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$k^{2} + 9 - 6 k - 1 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $1$ de $9$ .

$k^{2} - 6 k + 8 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $k^{2} - 6 k + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(k - 4) (k - 2) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k - 4 = 0$

$k - 2 = 0$

Étape 4.6

Définissez $k - 4$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $k - 4$ égal à $0$ .

$k - 4 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$k = 4$

Étape 4.7

Définissez $k - 2$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $k - 2$ égal à $0$ .

$k - 2 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$k = 2$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(k - 4) (k - 2) = 0$ vraie.

$k = 4, 2$