Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2} = x$

Étape 3.3

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{3}}{2} = x - \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $2 (x - \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

Étape 3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 3.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 3.5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 2 x - 1$

Étape 3.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Étape 5.2.7

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.7.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.2.7.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.2.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{2 x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2 x - 1}}^{3}$ comme $2 x - 1$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x - 1}$ comme ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$