Algèbre Exemples

${(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $i$ .

${(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3})}^{2}$ comme $(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3}) (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3})$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3}) (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3})$

Étape 2

Développez $(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3}) (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2} (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3}) + \frac{\sqrt{3} i}{3} (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + \frac{1}{2} (\sqrt{3} i) + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.3

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.4

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $i$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \sqrt{3} i \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.7

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $i$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$

Étape 3.1.8

Multipliez $\frac{\sqrt{3} i}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{3}$ .

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Étape 3.1.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} i}{3}$ par $\frac{\sqrt{3} i}{3}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i (\sqrt{3} i)}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1} i i}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i i}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.8.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{9}$

Étape 3.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.9.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{9}$

Étape 3.1.9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{9}$

Étape 3.1.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{9}$

Étape 3.1.9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{9}$

Étape 3.1.9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3^{1} i^{2}}{9}$

Étape 3.1.9.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3 i^{2}}{9}$

Étape 3.1.9.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{9}$

Étape 3.1.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{- 3}{9}$

Étape 3.1.11

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $9$ .

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Étape 3.1.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3 (- 1)}{9}$

Étape 3.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} - \frac{1}{3}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{9}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{9 \cdot 3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.4.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{9 \cdot 3}{12} - \frac{4}{12} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 \cdot 3 - 4}{12} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{27 - 4}{12} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.6.2

Soustrayez $4$ de $27$ .

$\frac{23}{12} + \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{23}{12} + \frac{2 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{23}{12} + \frac{2 \sqrt{3} i}{2}$

Étape 4.2

Divisez $\sqrt{3} i$ par $1$ .

$\frac{23}{12} + \sqrt{3} i$