Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{3} {(x + 7)}^{3} - 5$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} - 5$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} - 5 = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} - 5 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} = x + 5$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(y + 7)}^{3}$ .

$\frac{{(y + 7)}^{3}}{3} = x + 5$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{{(y + 7)}^{3}}{3} = 3 (x + 5)$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{{(y + 7)}^{3}}{3} = 3 (x + 5)$

Étape 2.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 7)}^{3} = 3 (x + 5)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $3 (x + 5)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(y + 7)}^{3} = 3 x + 3 \cdot 5$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

${(y + 7)}^{3} = 3 x + 15$

Étape 2.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y + 7 = \sqrt[3]{3 x + 15}$

Étape 2.7

Simplifiez $\sqrt[3]{3 x + 15}$ .

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Étape 2.7.1

Réécrivez.

$y + 7 = 0 + 0 + \sqrt[3]{3 x + 15}$

Étape 2.7.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 7 = \sqrt[3]{3 x + 15}$

Étape 2.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 15$ .

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Étape 2.7.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$y + 7 = \sqrt[3]{3 (x) + 15}$

Étape 2.7.3.2

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$y + 7 = \sqrt[3]{3 x + 3 \cdot 5}$

Étape 2.7.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 5$ .

$y + 7 = \sqrt[3]{3 (x + 5)}$

Étape 2.8

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{3 ((\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) + 5)} - 7$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{3 ((\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) + 5)} - 7$ .

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Étape 4.2.3.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{3 (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} + 0)} - 7$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{3 (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3})} - 7$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{3}{3} \cdot {(x + 7)}^{3}} - 7$

Étape 4.2.4.2

Associez $\frac{3}{3}$ et ${(x + 7)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{3 {(x + 7)}^{3}}{3}} - 7$

Étape 4.2.4.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.3.1

Réduisez l’expression $\frac{3 {(x + 7)}^{3}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{3 {(x + 7)}^{3}}{3}} - 7$

Étape 4.2.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{{(x + 7)}^{3}}{1}} - 7$

Étape 4.2.4.3.2

Divisez ${(x + 7)}^{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{{(x + 7)}^{3}} - 7$

Étape 4.2.4.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = x + 7 - 7$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = x + 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {((\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) + 7)}^{3} - 5$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{3} \cdot {((\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) + 7)}^{3} - 5$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt[3]{3 (x + 5)} + 0)}^{3} - 5$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\sqrt[3]{3 (x + 5)}$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {\sqrt[3]{3 (x + 5)}}^{3} - 5$

Étape 4.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{3 (x + 5)}}^{3}$ comme $3 (x + 5)$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 (x + 5)}$ comme ${(3 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {({(3 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 5$

Étape 4.3.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(3 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 5$

Étape 4.3.4.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(3 (x + 5))}^{\frac{3}{3}} - 5$

Étape 4.3.4.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(3 (x + 5))}^{\frac{3}{3}} - 5$

Étape 4.3.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x + 5)) - 5$

Étape 4.3.4.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x + 5)) - 5$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x + 5)) - 5$

Étape 4.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = x + 5 - 5$

Étape 4.3.5

Associez les termes opposés dans $x + 5 - 5$ .

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Étape 4.3.5.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$