Algèbre Exemples

${\log_{5}}^{2} (y) - 7 \log_{5} (y) + 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \log_{5} (y)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\log_{5} (y)$ par $u$ .

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - 7 u + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\log_{5} (y)$ .

$(\log_{5} (y) - 4) (\log_{5} (y) - 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\log_{5} (y) - 4 = 0$

$\log_{5} (y) - 3 = 0$

Étape 3

Définissez $\log_{5} (y) - 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Définissez $\log_{5} (y) - 4$ égal à $0$ .

$\log_{5} (y) - 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\log_{5} (y) - 4 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{5} (y) = 4$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\log_{5} (y) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{4} = y$

Étape 3.2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $y = 5^{4}$ .

$y = 5^{4}$

Étape 3.2.3.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$y = 625$

Étape 4

Définissez $\log_{5} (y) - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $\log_{5} (y) - 3$ égal à $0$ .

$\log_{5} (y) - 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\log_{5} (y) - 3 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{5} (y) = 3$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\log_{5} (y) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{3} = y$

Étape 4.2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $y = 5^{3}$ .

$y = 5^{3}$

Étape 4.2.3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$y = 125$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\log_{5} (y) - 4) (\log_{5} (y) - 3) = 0$ vraie.

$y = 625, 125$