Algèbre Exemples

$arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{x}$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $\arctan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{π}{2} - \arctan (x)$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation comme $\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$

Étape 1.3

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.4.2.2

Divisez $\arctan (x)$ par $1$ .

$\arctan (x) = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot arccot (\sqrt{x})$ comme $- arccot (\sqrt{x})$ .

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Étape 1.4.3.1.4

Divisez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}$

Étape 1.5

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\sqrt{x}$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2})$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation comme $\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$ .

$\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$

Étape 1.7

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $arccot (\sqrt{x})$ de l’intérieur de la tangente.

$- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2} = \arctan (x)$

Étape 1.8

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$

Étape 1.9

Divisez chaque terme dans $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.9.1

Divisez chaque terme dans $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- arccot (\sqrt{x})}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{arccot (\sqrt{x})}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.9.2.2

Divisez $arccot (\sqrt{x})$ par $1$ .

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.9.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \arctan (x)$ comme $- \arctan (x)$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 1.9.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Étape 1.9.3.1.4

Divisez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Étape 1.10

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\sqrt{x}$ from inside the arccotangent.

$\sqrt{x} = \cot (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$x = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $\cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$ des deux côtés de l’équation.

$x - \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2}) = 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réorganisez les termes.

$x - \cot^{2} (\frac{π}{2} - \arctan (x)) = 0$

Étape 4.2.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$x - {(\frac{\cot (\frac{π}{2}) \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$x - {(\frac{0 \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\cot (\arctan (x))$ est $\frac{1}{x}$ .

$x - {(\frac{0 (\frac{1}{x}) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $0$ par $\frac{1}{x}$ .

$x - {(\frac{0 + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$x - {(\frac{1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - 0})}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} + 0})}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.4

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x}})}^{2} = 0$

Étape 4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x - {(1 x)}^{2} = 0$

Étape 4.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$x - x^{2} = 0$

Étape 4.3

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$x (1 - x) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 4.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.6

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$ vrai.

$x = 1$