Algèbre Exemples

$x > \frac{1}{x}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$x \cdot x = \frac{1}{x} x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{x} x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{1}{x} x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 1$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 4

Déterminez le domaine de $x - \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 4 > \frac{1}{- 4}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 4$ n’est pas supérieur au côté droit $- 0.25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$- 0.5 > \frac{1}{- 0.5}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $- 0.5$ est supérieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$0.5 > \frac{1}{0.5}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $0.5$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 > \frac{1}{4}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0.25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 0$ ou $x > 1$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < x < 0 or x > 1$

Notation d’intervalle :

$(- 1, 0) \cup (1, \infty)$

Étape 9