Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} - 64 x}{x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 11 x + 24}{x^{2} - 8 x - 20}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{3} - 64 x}{x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 64 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 64 x}{x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 64 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 64}{x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 64$ .

$\frac{x (x^{2} - 64)}{x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 2.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 8^{2})}{x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$\frac{x (x + 8) (x - 8)}{x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 8) (x - 8)}{x - 10} \cdot \frac{(x - 3) (x - 2)}{x^{2} - 4} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x (x + 8) (x - 8)}{x - 10} \cdot \frac{(x - 3) (x - 2)}{x^{2} - 2^{2}} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x (x + 8) (x - 8)}{x - 10} \cdot \frac{(x - 3) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 8) (x - 8)}{x - 10} \cdot \frac{(x - 3) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 8) (x - 8)}{x - 10} \cdot \frac{x - 3}{x + 2} \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{x (x + 8) (x - 8)}{x - 10}$ par $\frac{x - 3}{x + 2}$ .

$\frac{x (x + 8) (x - 8) (x - 3)}{(x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x - 20}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 8 x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 10, 2$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 8) (x - 8) (x - 3)}{(x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 2)}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 7

Factorisez $x^{2} - 11 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 8, - 3$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 8) (x - 8) (x - 3)}{(x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 2)}{(x - 8) (x - 3)}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $(x - 8) (x - 3)$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $(x - 8) (x - 3)$ à partir de $x (x + 8) (x - 8) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 3) (x (x + 8))}{(x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 2)}{(x - 8) (x - 3)}$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 8) (x - 3) (x (x + 8))}{(x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 2)}{(x - 8) (x - 3)}$

Étape 8.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 8)}{(x - 10) (x + 2)} ((x - 10) (x + 2))$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $(x - 10) (x + 2)$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 8)}{(x - 10) (x + 2)} ((x - 10) (x + 2))$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$x (x + 8)$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 8$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 8$

Étape 8.4.2

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 8 x$