Algèbre Exemples

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

Étape 2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2} + 3 y^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

Étape 2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

Étape 2.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x + 3) = x - 1$ par $x + 3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x + 3) = x - 1$ par $x + 3$ .

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ comme $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ par $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

Étape 5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ par $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

Étape 5.3.2

Élevez $\sqrt{x + 3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

Étape 5.3.3

Élevez $\sqrt{x + 3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

Étape 5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

Étape 5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ comme $x + 3$ .

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Étape 5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

Étape 5.3.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

Étape 5.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 8.2

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 8.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 8.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 8.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $21$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $21$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 1$

Étape 9

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 = 0$

Étape 10

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 11

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 3, x \geq 1}$

Étape 12

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq 1, - 1}$

Étape 13

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

Plage : $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

Étape 14