Algèbre Exemples

$2 \sin (\frac{π}{4} - x) + \sqrt{3} = 0$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} - x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} - x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{π}{4} - x)$ par $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (\frac{π}{4} - x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{π}{4} - x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{4} - x = - \frac{π}{3}$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.3

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.4.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 5.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x = \frac{- π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x = \frac{- 4 π - π \cdot 3}{12}$

Étape 5.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x = \frac{- 4 π - 3 π}{12}$

Étape 5.6.3

Soustrayez $3 π$ de $- 4 π$ .

$- x = \frac{- 7 π}{12}$

Étape 5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x = - \frac{7 π}{12}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{7 π}{12}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{7 π}{12}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{7 π}{12}}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{7 π}{12}}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{7 π}{12}}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{1}$

Étape 6.3.2

Divisez $\frac{7 π}{12}$ par $1$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{π}{4} - x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{π}{4} - x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 8.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{π}{4} - x = \frac{4 π}{3}$

Étape 8.3

Résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.3.1.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$- x = \frac{4 π}{3} - \frac{π}{4}$

Étape 8.3.1.2

Pour écrire $\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.3.1.3

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.3.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.3.1.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.3.1.4.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 8.3.1.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Étape 8.3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x = \frac{4 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Étape 8.3.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.6.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- x = \frac{16 π - π \cdot 3}{12}$

Étape 8.3.1.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x = \frac{16 π - 3 π}{12}$

Étape 8.3.1.6.3

Soustrayez $3 π$ de $16 π$ .

$- x = \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = \frac{13 π}{12}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = \frac{13 π}{12}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$

Étape 8.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$

Étape 8.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{13 π}{12}$

Étape 8.3.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{13 π}{12}$ comme $- \frac{13 π}{12}$ .

$x = - \frac{13 π}{12}$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (\frac{π}{4} - x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $- 1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{13 π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{13 π}{12} + 2 π$

Étape 10.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{13 π}{12}$

Étape 10.3

Associez les fractions.

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Étape 10.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{13 π}{12}$

Étape 10.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 12 - 13 π}{12}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{24 π - 13 π}{12}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $13 π$ de $24 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Étape 10.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{12}$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (\frac{π}{4} - x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{11 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$