Algèbre Exemples

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 4 \sqrt{2}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 2^{2 + \frac{1}{2}}$

Étape 4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 5

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 2^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 2^{\frac{4 + 1}{2}}$

Étape 7.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$2^{x^{2} + x + 0.5} = 2^{\frac{5}{2}}$

Étape 8

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x^{2} + x + 0.5 = \frac{5}{2}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Soustrayez $\frac{5}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x + 0.5 - \frac{5}{2} = 0$

Étape 9.2

Simplifiez $x^{2} + x + 0.5 - \frac{5}{2}$ .

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Étape 9.2.1

Pour écrire $0.5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} + x + 0.5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Étape 9.2.2

Associez $0.5$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} + x + \frac{0.5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + x + \frac{0.5 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

Étape 9.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $0.5$ par $2$ .

$x^{2} + x + \frac{1 - 5}{2} = 0$

Étape 9.2.4.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$x^{2} + x + \frac{- 4}{2} = 0$

Étape 9.2.5

Divisez $- 4$ par $2$ .

$x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 9.3

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 9.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 9.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 9.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 9.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 9.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2$