Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{2} - 11 x = 11$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{2} - 11 x = 11$

Étape 1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x = 11$

Étape 1.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x - 11 = 0$

Étape 2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 2.1

Pour écrire $- 11 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x \cdot \frac{2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.2

Associez $- 11 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{- 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + x - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$2 (\frac{x^{2} + 0 - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 - 22 x}{2} - 11) = 0$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} - 11) = 0$

Étape 2.5

Pour écrire $- 11$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} - 11 \cdot \frac{2}{2}) = 0$

Étape 2.6

Associez $- 11$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} + \frac{- 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2 = 0$

Étape 2.9

Multipliez $- 11$ par $2$ .

$x^{2} - 22 x - 1 - 22 = 0$

Étape 2.10

Soustrayez $22$ de $- 1$ .

$x^{2} - 22 x - 23 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 22$ et $c = - 23$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 23)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 22$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 23$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 23$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 92}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $484$ et $92$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{22 \pm 24}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{22 \pm 24}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{22 \pm 24}{2}$ .

$x = 11 \pm 12$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 23, - 1$