Algèbre Exemples

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{8} x y + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{8} \cdot (x y) + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.2

Multipliez $- \frac{3}{8} (x y)$ .

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Étape 1.2.1

Associez $x$ et $\frac{3}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \cdot 3}{8} y + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.2.2

Associez $y$ et $\frac{x \cdot 3}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y (x \cdot 3)}{8} + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.3

Déplacez $3$ à gauche de $y x$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 \cdot (y x)}{8} + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.5

Multipliez $- \frac{1}{2} (x y)$ .

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Étape 1.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{x}{2} y + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.5.2

Associez $y$ et $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{3}{8} x^{2}$

Étape 1.7

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8}$

Étape 1.8

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x^{2}}{8}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 y x + x^{2} \cdot 2 - 3 x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{- 3 y x + 2 x^{2} - 3 x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 6

Soustrayez $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 y x - x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 y x - x^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 y x$ .

$\frac{x (- 3 y) - x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 y) + x (- x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 y) + x (- x)$ .

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{y^{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (- 3 y - x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 3 y) + x (- x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 3 x y + x (- x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 3 x y - x \cdot x + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 3 x y - (x \cdot x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 3 x y - x^{2} + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.5

Déplacez $4$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{- 3 x y - x^{2} + 4 \cdot y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 11.6.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 3 x y}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.1.2

Remettez dans l’ordre $4 y^{2}$ et $- 3 x y$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x y + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x y$ .

$\frac{- x^{2} - 3 (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$\frac{- x^{2} + (1 - 4) (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 1 (x y) - 4 (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$\frac{- x^{2} + x y - 4 (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.1.7

Déplacez les parenthèses.

$\frac{- x^{2} + x y - 4 x y + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} + x y) - 4 x y + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x + y) + 4 y (- x + y)}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 11.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + y$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 12

Pour écrire $- \frac{y x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{y x}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- x + y) (x + 4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Développez $(- x + y) (x + 4 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x (x + 4 y) + y (x + 4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot x - x (4 y) + y (x + 4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot x - x (4 y) + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x (4 y) + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- x^{2} - x (4 y) + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot 4 x y + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + 4 y \cdot y - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + 4 (y \cdot y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + 4 y^{2} - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.2

Additionnez $- 4 x y$ et $y x$ .

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Étape 15.2.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x y + x y + 4 y^{2} - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 4 x y$ et $x y$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} - 4 y x}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.4

Soustrayez $4 y x$ de $- 3 x y$ .

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Étape 15.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 3 x y - 4 x y}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 15.4.2

Soustrayez $4 x y$ de $- 3 x y$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Étape 16

Pour écrire $\frac{y^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 17.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2} \cdot 2}{8}$

Étape 18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y + y^{2} \cdot 2}{8}$

Étape 19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.1

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y + 2 \cdot y^{2}}{8}$

Étape 19.2

Additionnez $4 y^{2}$ et $2 y^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 6 y^{2} - 7 x y}{8}$

Étape 20

Simplifiez en factorisant.

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Étape 20.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 6 y^{2} - 7 x y}{8}$

Étape 20.2

Factorisez $- 1$ à partir de $6 y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 6 y^{2}) - 7 x y}{8}$

Étape 20.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 6 y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 y^{2}) - 7 x y}{8}$

Étape 20.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x y$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 y^{2}) - (7 x y)}{8}$

Étape 20.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 6 y^{2}) - (7 x y)$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)}{8}$

Étape 20.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 20.6.1

Réécrivez $- (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)$ comme $- 1 (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)}{8}$

Étape 20.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y}{8}$