Algèbre Exemples

${(\frac{3 - 4 i}{5})}^{- 1}$

Étape 1

Divisez la fraction $\frac{3 - 4 i}{5}$ en deux fractions.

${(\frac{3}{5} + \frac{- 4 i}{5})}^{- 1}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5})}^{- 1}$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{3 - 4 i}{5}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{5}{3 - 4 i}$

Étape 6

Multipliez $\frac{5}{3 - 4 i}$ par $1$ .

$\frac{5}{3 - 4 i}$

Étape 7

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5}{3 - 4 i}$ par le conjugué de $3 - 4 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{5}{3 - 4 i} \cdot \frac{3 + 4 i}{3 + 4 i}$

Étape 8

Multipliez.

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Étape 8.1

Associez.

$\frac{5 (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 3 + 5 (4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 + 5 (4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Étape 8.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{15 + 20 i}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Étape 8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

Développez $(3 - 4 i) (3 + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 + 20 i}{3 (3 + 4 i) - 4 i (3 + 4 i)}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 + 20 i}{3 \cdot 3 + 3 (4 i) - 4 i (3 + 4 i)}$

Étape 8.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 + 20 i}{3 \cdot 3 + 3 (4 i) - 4 i \cdot 3 - 4 i (4 i)}$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 3 (4 i) - 4 i \cdot 3 - 4 i (4 i)}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 12 i - 4 i \cdot 3 - 4 i (4 i)}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 12 i - 12 i - 4 i (4 i)}$

Étape 8.3.2.4

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 i i}$

Étape 8.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 (i^{1} i)}$

Étape 8.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Étape 8.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 + 20 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 i^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 i^{2}}$

Étape 8.3.2.9

Soustrayez $12 i$ de $12 i$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 0 - 16 i^{2}}$

Étape 8.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 - 16 i^{2}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 - 16 \cdot - 1}$

Étape 8.3.3.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{15 + 20 i}{9 + 16}$

Étape 8.3.4

Additionnez $9$ et $16$ .

$\frac{15 + 20 i}{25}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $15 + 20 i$ et $25$ .

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Étape 9.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{5 (3) + 20 i}{25}$

Étape 9.2

Factorisez $5$ à partir de $20 i$ .

$\frac{5 (3) + 5 (4 i)}{25}$

Étape 9.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (3) + 5 (4 i)$ .

$\frac{5 (3 + 4 i)}{25}$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (3 + 4 i)}{5 \cdot 5}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 + 4 i)}{5 \cdot 5}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 4 i}{5}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{3 + 4 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}$