Algèbre Exemples

$R = \frac{\sqrt[6]{25} \cdot \sqrt[4]{25} \cdot \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $12$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{25}$ comme $25^{\frac{1}{6}}$ .

$R = \frac{25^{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt[4]{25} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $25^{\frac{1}{6}}$ comme $25^{\frac{2}{12}}$ .

$R = \frac{25^{\frac{2}{12}} \cdot \sqrt[4]{25} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.1.3

Réécrivez $25^{\frac{2}{12}}$ comme $\sqrt[12]{25^{2}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot \sqrt[4]{25} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{25}$ comme $25^{\frac{1}{4}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot 25^{\frac{1}{4}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.1.5

Réécrivez $25^{\frac{1}{4}}$ comme $25^{\frac{3}{12}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot 25^{\frac{3}{12}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.1.6

Réécrivez $25^{\frac{3}{12}}$ comme $\sqrt[12]{25^{3}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot \sqrt[12]{25^{3}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2} \cdot 25^{3}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.3

Multipliez $25^{2}$ par $25^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2 + 3}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.3.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $12$ .

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Étape 1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{25}$ comme $25^{\frac{1}{3}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \cdot 25^{\frac{1}{3}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez $25^{\frac{1}{3}}$ comme $25^{\frac{4}{12}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \cdot 25^{\frac{4}{12}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.4.3

Réécrivez $25^{\frac{4}{12}}$ comme $\sqrt[12]{25^{4}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \sqrt[12]{25^{4}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5} \cdot 25^{4}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.6

Multipliez $25^{5}$ par $25^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5 + 4}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 1.6.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $20$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{25}$ comme $25^{\frac{1}{5}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot (\sqrt[20]{25} \cdot 25^{\frac{1}{5}})}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $25^{\frac{1}{5}}$ comme $25^{\frac{4}{20}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot (\sqrt[20]{25} \cdot 25^{\frac{4}{20}})}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $25^{\frac{4}{20}}$ comme $\sqrt[20]{25^{4}}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot (\sqrt[20]{25} \sqrt[20]{25^{4}})}$

Étape 2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25 \cdot 25^{4}}}$

Étape 2.3

Multipliez $25$ par $25^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Multipliez $25$ par $25^{4}$ .

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Étape 2.3.1.1

Élevez $25$ à la puissance $1$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{1} \cdot 25^{4}}}$

Étape 2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{1 + 4}}}$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $25$ à la puissance $9$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{3814697265625}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.2

Réécrivez $3814697265625$ comme $5^{12} \cdot 15625$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $244140625$ à partir de $3814697265625$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{244140625 (15625)}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $244140625$ comme $5^{12}$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{5^{12} \cdot 15625}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$R = \frac{5 \sqrt[12]{15625}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.4

Réécrivez $15625$ comme $25^{3}$ .

$R = \frac{5 \sqrt[12]{25^{3}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\sqrt[12]{25^{3}}$ comme $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25^{3}}}$ .

$R = \frac{5 \sqrt[4]{\sqrt[3]{25^{3}}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$R = \frac{5 \sqrt[4]{25}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.7

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$R = \frac{5 \sqrt[4]{5^{2}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.8

Réécrivez $\sqrt[4]{5^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ .

$R = \frac{5 \sqrt{\sqrt{5^{2}}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $25$ à la puissance $5$ .

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[20]{9765625}}$

Étape 4.2

Réécrivez $9765625$ comme $25^{5}$ .

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[20]{25^{5}}}$

Étape 4.3

Réécrivez $\sqrt[20]{25^{5}}$ comme $\sqrt[4]{\sqrt[5]{25^{5}}}$ .

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[4]{\sqrt[5]{25^{5}}}}$

Étape 4.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[4]{25}}$

Étape 4.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[4]{5^{2}}}$

Étape 4.6

Réécrivez $\sqrt[4]{5^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ .

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{\sqrt{5^{2}}}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5}}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$R = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{5}$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$R = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$R = 1$