Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{x^{2} + 9 x + 8}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 13 x + 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $13$ .

$5, 8$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{x^{2} + 9 x + 8}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 9 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $9$ .

$1, 8$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 2 x - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $2$ .

$- 5, 7$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $24 x^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $20 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 4.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 4.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (5)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2} + 6 x + 5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} + 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x ((x + 1) (x + 5))}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 12 x^{2} + 35 x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + x (12 x) + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $35 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 35} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (12 x)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 35} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 5.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 35$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x^{2} + 12 x + 35)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} + 12 x + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $12$ .

$5, 7$

Étape 5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x ((x + 5) (x + 7))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $(x - 5) (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x + 7$ à partir de $x (x + 5) (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{(x + 7) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{(x + 7) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 5}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{x - 5}{- x - 5}$ par $\frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- x - 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- (x) - 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- (x) - 1 (5)) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- (x + 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 6.6

Réécrivez $- (x + 5)$ comme $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 (x + 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 7

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 8

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x {(x + 5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x {(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Étape 11

Associez.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- 1 x {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- 1 x {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x - 5) ((4 (x + 1)) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (4 (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Étape 13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x - 5) ((4) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} (x + 8)}$

Étape 14

Annulez le facteur commun à $x + 5$ et ${(x + 5)}^{2}$ .

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Étape 14.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $((x - 5) ((4) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))$ .

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{- {(x + 5)}^{2} (x + 8)}$

Étape 14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $- {(x + 5)}^{2} (x + 8)$ .

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{(x + 5) (- (x + 5) (x + 8))}$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{(x + 5) (- (x + 5) (x + 8))}$

Étape 14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8))}{- (x + 5) (x + 8)}$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) \cdot (4) ((x + 5) (x + 8))}{- (x + 5) (x + 8)}$

Étape 15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x - 5) \cdot (4)) (x + 8)}{- (x + 8)}$

Étape 16

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) \cdot (4) (x + 8)}{- (x + 8)}$

Étape 16.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 5) \cdot (4)}{- 1}$

Étape 16.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(x - 5) \cdot (4)}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((x - 5) \cdot (4))$

Étape 17

Réécrivez $- 1 \cdot ((x - 5) \cdot (4))$ comme $- ((x - 5) \cdot (4))$ .

$- ((x - 5) \cdot (4))$

Étape 18

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot 4 - 5 \cdot 4)$

Étape 19

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- (4 \cdot x - 5 \cdot 4)$

Étape 19.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$- (4 \cdot x - 20)$

Étape 20

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 x) - - 20$

Étape 21

Multipliez.

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Étape 21.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x - - 20$

Étape 21.2

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$- 4 x + 20$